INDUKSI MATEMATIKA

 A. Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli. Untuk melakukan pembuktian menggunakan induksi matematika, berikut ini langkah-langkah nya:

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.

3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.


Contoh soal dibawah ini :

Buktikan deret 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n(n+1) 

  • Langkah pertama 
Kita akan buktikan untuk n = 1 adalah benar. Karena pernyataan tersebut merupakan deret, maka n di sini maksudnya jumlah suku pertama deret tersebut. Nah, yang diminta n = 1, berarti jumlah suku pertamanya hanyalah 1. Kemudian, kita substitusi semua n dengan 1. Jadi: 


Langkah pertama terbukti ya karena ruas kiri dan kanannya sama.

  • Langkah kedua
Kita asumsikan pernyataan benar untuk n = k. Berarti jumlah suku pertamanya itu dari 1 + 2 + 3 + ... + k, ya. Sehingga:


Pernyataan tersebut kita asumsikan atau kita anggap benar. 

  • Langkah ketiga 
Buktikan untuk pernyataan n = k + 1 juga benar. Kita bisa membuktikannya menggunakan modal dari langkah kedua. Karena kita mau n = k + 1, maka di ruas kiri, kita tambahkan satu suku, yaitu k + 1. Jadi:


Di langkah kedua, kita peroleh 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 (k)(k + 1). Maka,


Selanjutnya, kamu ingat nggak dengan sifat distribusi pada perkalian? Kalau ada (a + b)(c + d), maka bisa menjadi a(c + d) + b(c + d). Nah, di ruas kiri, bisa kita ubah persamaannya menggunakan sifat perkalian distribusi.

Misalnya, a = k, b = 2, dan (c + d) = (k + 1). Berarti,


Karena ruas kiri dan kanannya sudah sama, berarti terbukti kalau untuk deret 1 + 2 + 3 + ... + n nilainya sama dengan 1/2 n(n + 1).


B. Penerapan Induksi Matematika


1. Penerapan Induksi Matematika pada Rumus Jumlah Barisan (Deret)

Sebelum melakukan pembuktian jumlah barisan (deret), ada beberapa hal yang perlu kalian pahami terkait deret bilangan, yaitu:


Contoh 1.
Gunakan induksi matematis untuk membuktikan bahwa rumus jumlah berhingga dari deret aritmetika dengan suku pertama a dan beda b adalah



C. Latihan Soal

1. Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. 

Jawaban: 





2. Coba buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2.

jawaban: 

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2. Maka akan mampu menujukkan P(n) benar untuk tiap-tiap n N. 









































Daftar Pustaka





Komentar

Posting Komentar