MATRIKS

A. Konsep dan Jenis Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom, serta ditempatkan di dalam tanda kurung. Nah, tanda kurungnya ini bisa berupa kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”, ya. Suatu matriks diberi nama dengan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya.

beberapa jenis matriks khusus yang perlu kamu ketahui di antaranya sebagai berikut:

1. Matriks Baris

Matriks baris merupakan matriks yang terdiri atas satu baris saja. Pada umumnya matriks baris memiliki ordo 1xn, dengan n adalah banyak kolom pada matriks.

2. Matriks Kolom

Matriks kolom merupakan matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Pada umumnya matriks kolom memiliki ordo mx1, dengan m adalah banyak kolom pada matriks.

3. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah suatu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom sama. Itu tandanya, m = n. Karena jumlah baris dan kolomnya sama, maka ordo matriksnya bisa kita tulis menjadi n x n, atau matriks ordo n.

4. Matriks Persegi Panjang

Matriks persegi panjang merupakan matriks yang jumlah barisnya tidak sama dengan jumlah kolomnya. Matriks persegi panjang memiliki orde mxn.

5. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol.

6. Matriks Identitas

Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang memiliki elemen diagonalnya bernilai 1.

7. Matriks Nol

Matriks nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol.

B. Kesamaan Dua Matriks dan Dua Transpose Matriks, Serta Operasi Matriks

1. Transpose Matriks

Lambang transpose dari matriks A dapat berupa Aᵀ. Transpose dalam matriks ialah baris yang termasuk di kolom matriks A serta kolomnya termasuk dalam baris matriks A. Dalam transpose tersebut terdapat baris yang ditukar dengan kolom. Hal ini menyebabkan adanya perubahan ordo dalam matriks tersebut. Apabila ordo yang dimiliki matriks A berupa m x n, maka ordo yang dimiliki matriks Aᵀ berupa n x m.

Perubahan ordo juga terdapat dalam matriks A yang bentuknya persegi, tetapi perubahannya tentu berbeda. Dalam matriks persegi hanya ada perubahan komponen saja sehingga ordonya tetap sama. Komponen matriks persegi tidak berubah setelah ditranspose sehingga dapat dinamakan dengan matriks simetris. Untuk itu dapat dinyatakan bahwa jika A = Aᵀ, maka matriks A dapat dinamakan matriks simetris. Pengenalan ordo ini juga diperlukan untuk memahami rangkuman materi kesamaan dua matriks.

Sebuah matriks akan kembali seperti semula apabila pentransposannya dilakukan sebanyak dua kali. Hal ini termasuk dalam sifat dari materi transpose matriks. Di bawah ini merupakan sifat sifat transpose dari matriks yaitu sebagai berikut:

(Aᵀ)ᵀ = A
(A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
(A – B)ᵀ = Aᵀ – Aᵀ
(kA)ᵀ = kAᵀ, dimana k = konstanta
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ

Agar anda lebih memahami mengenai materi transpose matriks tersebut. Maka saya akan membagikan contoh transpose pada matriks terkait sifat sifat di atas. Adapun contohnya yaitu diantaranya:

Tentukan transpose dari matriks :

Jawab:

Untuk menyelesaikan transpose dalam matriks ini dapat diterapkan dengan sifat di atas. Untuk itu hasilnya akan menjasi seperti di bawah ini:

Matriks A memenuhi sifat berupa A = Aᵀ, sehingga dapat dinamakan dengan matriks simetris.

2. Persamaan Dua Matriks

Persamaan pada dua matriks dapat terjadi apabila memenuhi beberapa syarat ketentuan yang berlaku. Adapun syarat dua buah matriks dinyatakan sama yaitu meliputi:

Memiliki ordo yang sama.
Memiliki persamaan pada komponen yang seletak.

Dalam materi persamaan dua matriks mungkin terdapat masalah seperti penyelesaian bentuk aljabar, baik berupa sistem persamaan linear, aljabar sederhana, persamaan kuadrat dan lain lain. Untuk itu contoh soal kesamaan dua matriks dapat diselesaikan menggunakan metode pengeluaran dan penyamaan komponen seletak dalam matriks. Kemudian bentuk aljabarnya diselesaikan. Perhatikan matriks di bawah ini:

Pada umumnya rangkuman materi kesamaan dua matriks ini berkaitan dengan operasi matriks. Dalam hal ini pengoperasiannya berawal dari sebelah kiri ke kanan matriks. Agar anda lebih paham mengenai materi persamaan antara dua matriks tersebut, maka saya akan membagikan contoh soal terkait materi tersebut. Adapun contoh soal dan pembahasannya yaitu sebagai berikut:

Tentukan nilai a, b, c, dan d dalam matriks

dan

dimana matriks A=B?

Jawab:

Dalam contoh soal di atas dapat diketahui bahwa matriks A = matriks B. Untuk itu matriks A memiliki komponen yang seletak sama dengan matriks B. Dari sini kita dapat mengetahui cara mencari nilai a, b, c, dan d. Adapun caranya yaitu sebagai berikut:

a = 2

b + 1 = 8

b = 8 – 1

b = 7

c = 6

d – 1 = 2

d = 2 + 1

d = 3

Jadi nilai a = 2, b = 7, c = 6 dan d = 3.

3. Operasi Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat penjumlahan dan pengurangan matriks yaitu : jika terdapat dua matriks, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah matriks A dan matriks B dapat dinyatakan dengan A+B, sedangkan selisih matriks A dan matriks B dapat dinyatakan dengan A – B.

Contoh:

Perkalian Skalar pada Matriks

Pada operasi perkalian skalar, sebuah matriks dikalikan dengan bilangan skalar. Jika diketahui A merupakan suatu matriks dan K merupakan bilangan real, maka hasil perkalian K dengan matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan K.

Contoh:

Perkalian Dua Matriks

Berbeda dengan perkalian skalar yang hanya mengalikan setiap elemen matriks dengan bilangan skalar, perkalian dua matriks memiliki aturan tersendiri. Syarat dua buah matriks, misal matriks A dan matriks B, dapat dikalikan adalah jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Bentuk perkalian antar matriks secara umum, yaitu :

Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B ialah dengan mengalikan elemen pada baris-baris matriks A dengan elemen pada kolom-kolom matriks B, kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.

Contoh matriks :