TRANSFORMASI GEOMETRI

A. Translasi (Pergeseran), Refleksi (Pencerminan), 
Rotasi (Perputaran), Dilatasi (Pembesaran/pengecilan)

1. Translasi (Pergeseran)
Jenis transformasi geometri yang berhubungan dengan perpindahan suatu titik sepanjang garis lurus. 

Rumus dari translasi yaitu :

(x’,y’) = (a,b) + (x,y)

Keterangan:

x’, y’ = titik bayangan

x,y = titik asal

a,b = vektor translasi


Berikut contoh soal transformasi geometri jenis translasi

Tentukan titik bayangan jika titik A adalah (2, 4) dan ditranslasikan menjadi (6, 3)

Jawab:

(x’, y’) = (x +a, y+b)

(x’, y’) = (2+6, 4+3)

(x’, y’) = (8, 7)

Maka titik bayangannya ada di (8, 7)


2. Refleksi (Pencerminan)
Transformasi geometri berarti perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar.

Rumus umum dari refleksi antara lain:
  • Refleksi terhadap sumbu -x : (x,y) maka (x, -y)
  • Refleksi terhadap sumbu -y : (x,y) maka (-x, y)
  • Refleksi terhadap garis y = x : (x, y) maka (y, x)
  • Refleksi terhadap garis y = -x : (x, y) maka (-y, -x)
  • Refleksi terhadap garis x = h : (x, y) maka (2h, -x,y)
  • Refleksi terhadap garis y = K : (x. y) maka (x, 2k – y)

Berikut contoh soal transformasi geometri jenis refleksi

Tentukanlah koordinat bayangan dari titik A jika Titik A (4, -2) dicerminkan terhadap sumbu x.

Jawab:

A : (a,b) maka A’ (a, -b)

Maka:

A (4, -2) maka A’ (-4, -2)


3. Rotasi (Perputaran)
Perputaran dalam transformasi geometri sesuai dengan namanya berarti sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. 

Ada beberapa Rumus dari rotasi, yaitu:
  • Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b): (x,y) maka (-y + a + b, x – a + b)
  • Rotasi 180 derajat dengan pusat (a,b) : (x,y) maka (-x -2a, -y +2b)
  • Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) maka (y – b + a, -x + a + b)
  • Rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) maka (-y,x)
  • Rotasi 180 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (-x, -y)
  • Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (y, -x)

Contoh soal transformasi geometri jenis rotasi

Sebuah titik A (3,2) dirotasikan terhadap titik O (0,0) sejauh 90 derajat searah dengan jarum jam. Tentukanlah bayangan dari titik A.

Jawab:

(x’, y’) = (cos90o sin 90o, –sin 90o cos 90o) (3,2)

(x’, y’) = (0 1 , -1 0) (3,2)

(x’, y’) = (-2,3)


4. Dilatasi (Pembesaran/Pengecilan)
Transformasi atau perubahan ukuran dari sebuah objek. Dalam dilatasi terdapat dua konsep, yaitu titik dan faktor dari dilatasi.

Rumus umum dari dilatasi antara lain:
  • Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx, ky)
  • Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx = k(x-a) + a, (k(y-b) + b))

Contoh soal transformasi geometri jenis dilatasi

Titik A (2,4) akan didilatasikan sebesar tiga kali, dengan pusat yang berada di (-4,2), maka tentukanlah titik A

Jawab:

(x, y) = k(x-a) + a, K(y – b) + b

(2, 4) = 6(2 – (-4)) + (-4), 6(4 – 2) + 2

(2, 4) = (32, 14)

Maka letak titik A dari (2, 4) dengan dilatasi (-4,2) adalah (32, 14)


B. Gambar Dari Translasi, Refleksi, Rotasi dan Dilatasi 

1. Translasi (Pergeseran)






2. Refleksi (Pencerminan)








3. Rotasi (Perputaran)











4. Dilatasi (Pembesaran/Pengecilan)













C. Dengan Matriks Menyelesaikan Masalah Trasnlasi, Refleksi, Rotasi dan Dilatasi

1. Translasi (Pergeseran)

1.) Bayangan dari titik B (-5, 2) ditranslasikan oleh T 

adalah...

Diketahui : 
  • x = -5
  • y = 2
  • a = 4
  • b = -6
Cara menentukan hasil translasi x’ dan y’ sebagai berikut.

x’ = x + a = -5 + 4 = -1
y’ = y + b = 2 + (-6) = -4

Jadi hasil translasinya (-1, -4)

2. Translasi [m/n] memetakan titik P(-6, 7) ke titik P’ (-3, 11). Bayangan ΔABC dengan A(1, 2) ; B (4, 3) ; C (2, 6) oleh translasi T memiliki luas …

Pembahasan / penyelesaian soal : 

Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu nilai translasi m dan n dengan cara dibawah ini:
  • m = -3 – (-6) = 3
  • n = 11 – 7 = 4 
  • Jadi translasinya adalah [ 3/4 ]
Selanjutnya menentukan A’, B’ dan C’ dengan cara dibawah ini.

  • A (1, 2) maka A’ (1 + 3 , 2 + 4) = A’ (4, 6)
  • B (4, 3) maka B’ (4 + 3, 3 + 4) = B’ (7, 7)
  • C (2, 6) maka C’ (2 + 3, 6 + 4) = C’ (5, 10)
Segitiga ΔA’B’C’ jika digambar sebagai berikut:


Maka luas segitiga A’B’C’ dihitung dengan cara dibawah ini:
  • L ΔA’B’C’ = Luas A’XYZ – Luas ΔA’XB’ – luas ΔB’YC’ – Luas ΔA’ZC’
  • L ΔA’B’C’ = (3 . 4) – (1/2 . 1 . 3) – (1/2 . 3 . 2) – 1/2 (1 . 4)
  • L ΔA’B’C’ = 12 – 1,5 – 3 – 2 = 5,5.
Jadi soal ini jawabannya = 5,5


2. Refleksi (Pencerminan)

1.) Koordinat titip P (-3, 6) dicerminkan terhadap garis x = 5 maka koordinat bayangannya adalah …

Diketahui :
  • a = -3
  • b = 6
  • k = 5
Gunakan persamaan percerminan terhadap sumbu x = k sebagai berikut.
  • P’ (2k – a, b)
  • P’ (2 . 5 – (-3), 6)
  • P’ (10 + 3 , 6)
  • P’ (13, 6)
Jadi hasil refleksi nya (13, 6)

2. Titik P'(4 , 6) adalah bayangan dari P(6 , 4) yang dicerminkan terhadap …

Pembahasan / penyelesaian soal : 

Untuk menjawab soal ini perhatikan gambar dibawah.


Berdasarkan gambar diatas terlihat titik P'(4,6) diperoleh jika titik P(6,4) dicerminkan terhadap garis y = x. Jadi soal ini jawabannya adalah garis y = x


3. Rotasi (Perputaran)

1.) Koordinat bayangan titik P (-5, 8) oleh rotasi 90o adalah …

Pembahasan / penyelesaian soal
  • x’ = x cos α – y sin α
  • x’ = -5 cos 90o – 8 sin 90o
  • x’ = -5 . 0 – 8 . 1 = – 8
  • y’ = x sin α + y cos α
  • y’ = -5 sin 90o + 8 cos 90o
  • y’ = -5 . 1 + 8 . 0 = -5
Jadi P’ (-8, -5)


4. Dilatasi (Pembesaran/Pengecilan)

1.) Bayangan titik P (8, -4) oleh dilatasi (O, -2) adalah …

Diketahui:
  • x = 8
  • y = -4
  • k = -2
Cara menjawab soal ini sebagai berikut.

x’ =k . x = -2 . 8 = -16
y’ = k . y = -2 . -4 = 8

Jadi P’ (-16, 8).

2.) Diketahui titik P(12 , -5) dan A(-2 , 1). Bayangan titik P oleh dilatasi [A , 1/2] adalah…

diketahui:
  • x = 12
  • y = -5
  • a = -2
  • b = 1
  • k = 1/2
Maka bayangan titik P oleh dilatasi [A, 1/2] sebagai berikut:
  • x’ = a + k (x – a)
  • x’ = -2 + 1/2 (12 – (-2)) = -2 + 7 = 5
  • y’ = b + k(y – b)
  • y’ = 1 + 1/2 (-5 – 1) = 1 + (-3) = -2
Jadi P'(5, -2) 


Daftar Pustaka





Komentar

Posting Komentar