BARISAN DAN DERET

A. Barisan dan Deret Aritmatika

• Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang tiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurang dengan sebuah bilangan tetap. Nah, polanya itu bisa berdasarkan operasi penjumlahan atau pengurangan. Jadi, setiap urutan suku memiliki selisih atau beda yang sama. Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 2. Suku pertama disimbolkan dengan U1 atau a. Lalu, di suku kedua (U2), yaitu 5. Suku ketiga (U3), yaitu 8, dan seterusnya. Berarti, barisan ini memiliki beda 3 pada setiap sukunya.

2, 5, 8

Rumus mencari suku ke-n barisan aritmatika :

Un = U₁ + (n-1)b atau Un = a + (n-1)b

Rumus mencari beda barisan aritmatika :

b = Un + Un-1

Keterangan:

Un = suku ke-n

U₁ = a = suku ke-1 barisan aritmatika

Un-1= suku ke n-1

b = beda

n = banyak suku pada barisan aritmatika

CONTOH SOAL

Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut

3, 7, 11, 15, 19, ...

Tentukan berapa suku ke-10 barisan aritmatika tersebut!

Diketahui:

U₁ = a=3

b = U₂ - U₁ = 7 - 3 = 4

n = 10

Jawab:

U₁ = a + (n-1)b

U₁ = 3 + (10-1).4

U₁ = 3 + 94

U₁ = 3 + 36 = 39

Jadi, suku ke-10 barisan aritmatika tersebut adalah 39.

• Deret aritmatika (Sn) adalah jumlah suku ke-n pada barisan aritmatika. Nah, di sini kita hanya menjumlahkan barisan aritmatikanya saja sampai ke suku yang diperintahkan. Misalnya, deret aritmatika jumlah 5 suku pertama dari barisan yang tadi dibahas. Jadi seperti ini ya penjelasannya.

3, 7, 11, 15, 19, ....

Jumlah 5 suku pertamanya berarti :

3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55

RUMUS :

Sn = n/2 (a+Un) atau Sn = (2a + (n-1)b)

KETERANGAN :

S = jumlah n suku pertama

a = suku pertama barisan aritmatika

b = beda

n = banyak suku barisan aritmatika

CONTOH SOAL

Diketahui barisan aritmatika 27, 24, 21, 18,... Jumlah 20 suku pertamanya adalah

Diketahui:

a = 27

b = U₂ - U₁ = 24 - 27= -3

Jawab:

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

S20 = 20/2 (2.27 + (20 - 1) (-3))

S2 = 10 (54 + 19.(-3))

S20 = 10 (54 + 57)

S20 = 10(-3)

S20 = -30

Jadi, jumlah 20 suku pertamanya adalah -30.

B. Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan. Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

Sedangkan, deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

CONTOH SOAL

Apabila diketahui suatu deret angka 5 + 15 + 45 + …

Maka, berapakah jumlah 6 suku pertama dari deret tersebut?

Pembahasan:

Diketahui: a = 5, r = 3

Sehingga jumlah enam suku pertama yakni:

Sn = a (rn – 1) / r – 1

S6 = 5 (36 – 1) / 3 – 1 = 3.640 / 2 = 1.820

Jadi, jumlah dari 6 suku pertama barisan geometri tersebut adalah 1.820.

C. Bunga, Penyusutan, Pertumbuhan, dan Peluruhan

• Pengertian Bunga

Bunga yaitu selisih antara jumlah uang yang dipinjamkan oleh pemodal dengan jumlah uang yang akan dikembalikan oleh pemakai modal menurut kesepakatan bersama.

• Jenis-jenis Bunga

1. Bunga Tunggal

Bunga tunggal yaitu bunga yang dibayar untuk setiap periodenya dengan jumlah yang tetap. Bunga tunggal ini dihitung menurut modal awal.

Rumus bunga tunggal pada akhir periode :

Rumus besarnya modal pada akhir :

Keterangan:

B = bunga

M0 = modal awal

Mt = modal pada akhir periode – t

t = periode

r = tingkat suku bunga (persentase)

CONTOH SOAL

Sebuah lembaga koperasi simpan pinjam, memberikan bunga pinjaman untuk anggotanya sebanyak 2% per bulannya. Jika Nia meminjam uang sejumlah Rp. 800.000 dengan jangka waktu 4 bulan, tentukanlah besarnya bunga untuk setiap bulannya yang harus oleh Nia sesuai jangka waktu yang telah disepakati!

Jawab:

M0 = Rp. 800.000

r = 2 %

t = 4 bulan

Sehingga, besarnya bunga untuk setiap bulan dihitung dengan:

dan jumlah uang yang harus dikembalikan setelah 4 bulan:

2. Bunga Majemuk

Bunga majemuk yaitu, bunga yang dihitung menurut jumlah modal yang dipakai ditambahkan dengan akumulasi bunga yang telah terjadi.

Misalkan, Modal Sejumlah M0, akan diberlakukan bunga majemuk,dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besarnya modal saat periode ke-t (Mt) bisa dihitung dengan cara:

keterangan :

Mt = modal pada akhir periode – t

M0 = modal awal

i = tingkat suku bunga

t = periode

CONTOH SOAL

Sebuah bank swasta memberikan pinjaman kepada nasabahnya sebesar Rp. 6.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 3% per tahun. berapakah modal yang harus dikembalikan nasabah tersebut setelah 1 tahun?

Jawab :

M0 = Rp. 6.000.000

i = 3% = 0,03

t = 12 bulan

Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun /12 bulan yaitu:

• Pengertian Penyusutan

Penyusutan adalah besar pengurangan nilai aset. Terdapat beberapa metode perhitungan penyusutan diantaranya adalah metode garis lurus dan metode saldo menurun.

Rumus menghitung penyusutan metode garis lurus sebagai berikut:

Rumus penyusutan dengan metode angka persen tetap sebagai berikut:

Keterangan :

D = penyusutan

U = umur manfaat

A = harga perolehan aktiva tetap

S = nilai sisa aktiva tetap

n = perkiraan umur manfaat aktiva tetap

T = persentase penyusutan

CONTOH SOAL

Sebuah mesin dibeli seharga Rp 12.000.000,00. Besar penyusutannya sama setiap tahun yaitu Rp 1.500.000,00. Tentukan nilai mesin tersebut setelah pemakaian 5 tahun.

Diketahui:

Harga pembelian mesin = Rp 12.000.000,00

D = Rp 1.500.000,00

U = 5

Untuk menghitung nilai sisa mesin menggunakan rumus dibawah ini:

D = Harga pembelian mesin – Nilai sisa / U

Nilai sisa = Harga pembelian – (D x U)

Nilai sisa = Rp 12.000.000,00 – (Rp 1.500.000,00 x 5)

Nilai sisa = Rp 12.000.000,00 – Rp 7.500.000,00 = Rp 4.500.000,00

• Pengertian Pertumbuhan

pertumbuhan yaitu pertambahan atau kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial).

Rumus pertumbuhan linear:

Rumus pertumbuhan eksponensial:

Keterangan :

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat pertumbuhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

CONTOH SOAL

Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!

Jawab:

P0 = 200.000

b = 4% = 0,04

n = 2 jam

Banyaknya bakteri setelah 2 jam:

Pn = P0 (1+b)n

P2 = 200.000 (1 + 0,04)2

P2 = 200.000 (1,0816)

P2 = 216.320 bakteri

• Pengertian Peluruhan

Peluruhan yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear :

Rumus peluruhan eksponensial :

Keterangan :

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat peluruhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

CONTOH SOAL

Sebuah bahan radioaktif, mulanya berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga mengalami penyusutan sebanyak 3% dari ukuran sebelumnya setiap 4 jam secara eksponensial. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

P0 = 100 gram

b = 3% = 0,03

D. Bunga dan Anuitas

• Pengertian Anuitas

Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;

1. Besarnya pinjaman

2. Besarnya bunga

3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran