LIMIT

A. Limit Fungsi Aljabar

• Pengertian Limit

Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit.

Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan:

Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Teorema / Pernyataan:

Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri dan limit kananya mempunyai besar nilai yang sama dan apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama maka nilai limitnya tidak ada.

• Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.

• Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

Bentuk kedua

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

1. Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabar nya. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat dipahami.

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi nilai dari limit fungsi aljabar tersebut

2. Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisi kan seperti pada contoh berikut:

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebutnya. Berikut beberapa contoh untuk dipahami.

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut

B. Teorema Limit

Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu. Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta. Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.

Jika n bilangan bulat positif, k konstan, f dan g fungsi yang mempunyai limit di c, maka berlaku

Contoh Soal

C. Limit Tak Tentu

Kalian pasti tidak asing lagi dengan bentuk limit di atas. Ketiga bentuk limit tersebut memiliki penampilan yang sama yaitu terdapat hasil bagi dan memiliki pembilang dan penyebut berlimit nol. Khusus untuk limit yang ketiga sebenarnya merupakan definisi turunan f ′(x). Kalau kita menghitung limit itu dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi pembilang dan penyebut, kita akan memperoleh jawaban yang tak ada artinya, yaitu 0/0. Namun demikian, kita tidak mengatakan bahwa limit tersebut tidak ada, melainkan kita hanya mengatakan bahwa limit tersebut tidak dapat ditentukan dengan aturan hasil bagi limit.

Anda tentunya masih ingat bahwa dengan menggunakan geometri, kita dapat membuktikan bahwa

Di lain pihak, dengan menggunakan pemfaktoran dalam aljabar, kita peroleh

Kita telah berhasil menyelesaikan dua bentuk limit di atas dengan menggunakan geometri dan pemfaktoran aljabar, tetapi tentunya akan lebih baik bila ada aturan baku yang dapat dipakai untuk menghitung limit-limit demikian.

CONTOH SOAL

Nomor 1