TURUNAN FUNGSI ALJABAR
A. Turunan Fungsi Aljabar dan Rumus-rumus Turunan
• Pengertian Turunan Fungsi Aljabar
Turunan fungsi atau juga bisa disebut dengan diferensial adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, contohnya fungsi f dijadikan f' yang mempunyai nilai tidak memakai aturan dan hasil dari fungsi akan berubah sesuai dengan variabel yang dimasukan, atau secara umum suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi. Lalu untuk pengertian turunan aljabar adalah perluasan dari materi limit fungsi.
Notasi turunan fungsi aljabar seperti berikut:
.png){kind=small}
Seperti yang telah disebutkan di atas, jika turunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari materi limit fungsi sehingga dapat didefinisikan seperti berikut:
.png){kind=small}
• Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Setelah memahami tentang pengertian dari turunan fungsi aljabar, hal yang perlu Sobat Pintar pelajari adalah rumus dari turunan fungsi aljabar. Rumus turunan fungsi aljabar ini terbagi menjadi beberapa rumus berikut:
1.) Turunan Fungsi Pangkat
.png)
2.) Turunan Hasil Kali Fungsi
Bentuk dari fungsi kali adalah f(x) = u(x) . v(x), sehingga turunannya adalah f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x).
Contoh Soal:
.png)
3.) Turunan Fungsi Pembagian
.png){kind=small}
Contoh soal :
.png)
4.) Turunan Pangkat dari Fungsi
.png){kind=small}
.png)
5.) Turunan Trigonometri
.png)
B. Persamaan Garis Singgung Kurva Menggunakan Turunan
Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).
Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan
y-y1=m(x-x1)
Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan
Contoh Soal
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?
Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 ?
Jawab :
x = 2
y = x4 – 7x2 + 20 = y = 24 – 7.22 + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x3 – 14 x = 4.23 – 14.2 = 32 – 28 = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x
3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 ?
Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x3 + 10 = 18
x3 = 8
x = 2
m = y’ = 3x2 = 3.22 = 12
Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y1 = m(x – x1)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16
4. Persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 5x2 + 10 di titik yang berordinat 6 adalah
Jawab :
ordinat = 6
x4 – 5x2 + 10 = 6
x4 – 5x2 + 4 = 0
(x2 – 1)(x2 – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2
untuk x = -1
m = 4x3 – 10x = -4 + 10 = 6
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12
Untuk x = 1
m = 4x3 – 10x = 4 – 10 = -6
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = -6(x – 1)
y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12
Untuk x = -2
m = 4x3 – 10x = 4(-2)3 – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18
Untuk x = 2
m = 4x3 – 10x = 4.23 – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18
Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu
y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan y = 12x – 18
C. Masalah Kontekstual Menggunakan Turunan 1 dan Turunan 2 Serta titik Tarsioner
Apa Itu Titik Stasioner?
Titik stasioner merupakan sebuah titik dalam grafik yang turunan kurva pertamanya sama dengan nol.
Supaya lebih mudah dipahami, titik stasioner dapat digambarkan dalam garis fungsi seperti gambar di bawah ini.
Pada garis fungsi ini, bisa menemukan tiga titik. Pertama, pada saat nilai x=a, sehingga fungsinya disebut sebagai f(a). Kemudian, titik stasioner selanjutnya muncul saat nilai x=b, fungsinya disebut sebagai f(b). Lalu yang terakhir muncul saat nilai x=c, sehingga fungsinya adalah f(c).
Oleh karena itu, titik stasionernya adalah:
(a, f(a))
(b, f(b))
(c, f(c)
juga bisa menyebut bahwa nilai stasionernya adalah:
f(a)
f(b)
f(c)
Cara Menentukan Titik Stasioner
Lalu, bagaimana cara menentukan titik stasioner? Coba ikuti contoh soal berikut.
Tentukan titik stasioner fungsi berikut:
a. 5
b. 6
c. 4 ½
d. 4
e. 1 ½
Nilai stasioner adalah nilai y dari titik stasioner. Dari gambar, dapat dilihat bahwa titik-titik stasionernya adalah (1,6), (4,½), dan (6,3½). Jadi, nilai stasionernya adalah 6, ½, dan 3½. Pada pilihan jawaban yang tersedia, jawaban yang benar adalah b. 6.
REFERENSI
Komentar
Posting Komentar